Question

过点（1，0）的直线与中心在原点，焦点在x轴上且率心率为

2

2

的椭圆C相交于A、B两点，直线y=

1

2

x过线段AB中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程．

Answer 1

分析：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解．

解答：解：由e=

c

a

=

2

2

，得

a2-b2

a2

=

1

2

，从而a²=2b²，c=b
设椭圆方程为x²+2y²=2b²，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在椭圆上
则x₁²+2y₁²=2b²，x₂²+2y₂²=2b²，两式相减得，（x₁²-x₂²）+2（y₁²-y₂²）=0，

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

2(y1+y2)

设AB中点为（x₀，y₀），则k_AB=-

x0

2yo

，
又（x₀，y₀）在直线y=

1

2

x上，y₀=

1

2

x₀，
于是-

x0

2yo

=-1，k_AB=-1，则l的方程为y=-x+1．
右焦点（b，0）关于l的对称点设为（x′，y′），则

y‘ x’-b =1 y′ 2 =- x′+b 2 +1

解得

x′=1 y′=1-b

由点（1，1-b）在椭圆上，得1+2（1-b）²=2b²，b²=

9

16

，a²=

9

8

∴所求椭圆C的方程为

8x2

9

+

16y2

9

=1，
l的方程为y=-x+1．

点评：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题，成为解决本题的关键．注意在设直线方程时要对直线斜率是否存在进行讨论．