Question

关于函数f（x）=cos2x-sin2x，下列命题正确的是    ．
（1）函数f（x）的图象关于直线x=对称；
（2）函数f（x）在区间（-，）内是增函数；
（3）任意x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则|x₁-x₂|=kπ，k∈Z
（4）将函数y=2cos2x的图象向左平移个单位后得到y=f（x）图象．

Answer 1

【答案】分析：先将三角函数进行化简，然后分别利用三角函数的图形和性质去判断．
（1）将代入，比较是不是最值；
（2）利用函数的单调性去判断区间；
（3）问题转化为求函数周期问题；
（4）通过平移对比两个表达式是否为同一个表达式．
解答：解：函数f（x）=cos2x-sin2x=-2sin（2x-）．
（1）当时，f（）=-2sin（2×-）=-2sin=2为函数f（x）最大值，
所以是函数的一条对称轴，所以（1）正确．
（2）当x∈（-，）时，，，此时函数单调递减，所以（2）不正确．
（3）由于任意x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则f（x₁）=f（x）|_最小值，f（x₂）=f（x）|_最大值，
则|x₁-x₂|=kπ，k∈N^*，故（3）不正确；
（4）由y=2cos2x的图象向左平移个单位长度，
得到==．
所以（4）正确．所以正确的是（1）（4）
故答案为：（1）（4）．
点评：本题考查三角函数的图象和性质，先利用辅助角公式将三角函数进行化简，然后在研究相应的性质