Question

（2013•汕头二模）64个正数排成8行8列，如下所示：，其中a_ij表示第i行第j列的数．已知每一行中的数依次都成等差数列，每一列中的数依次都成等比数列，且公比均为q，a11=

1

2

，a₂₄=1，a21=

1

4

．
（Ⅰ）求a₁₂和a₁₃的值；
（Ⅱ）记第n行各项之和为A_n（1≤n≤8），数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足an=

36

An

，mb_n+1=2（a_n+mb_n）（m为非零常数），cn=

bn

an

，且

c

2 1

+

c

2 7

=100，求c₁+c₂+…+c₇的取值范围；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的a_n，记dn=

200

an

(n∈N*)，设Bn=d1d2…dn(n∈N*)，求数列{B_n}中最大项的项数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）轻车熟路的公比，通过a₁₁，a₁₂，a₁₃，a₁₄成等差数列，求a₁₂和a₁₃的值；
（Ⅱ）设第一行公差为d，求出d，求出an=2n（1≤n≤8，n∈N^*，推出

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=

1

m

．说明{c_n}是等差数列，推出-10

2

＜c1+c7＜10

2

．即可；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的a_n，记dn=

200

an

(n∈N*)，设Bn=d1d2…dn(n∈N*)，利用数列的单调性推出

dn≥1 dn+1＜1

，求出n即可求数列{B_n}中最大项的项数．

解答：（共14分）
解：（Ⅰ）因为q=

a21

a11

=

1

2

，所以a14=

a24

q

=2．
又a₁₁，a₁₂，a₁₃，a₁₄成等差数列，
所以a12=1，a13=

3

2

．…（4分）
（Ⅱ）设第一行公差为d，由已知得，a24=a14q=(

1

2

+3d)×

1

2

=1，
解得d=

1

2

．
所以a18=a11+7d=

1

2

+

7

2

=4．
因为an1=a11•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，an8=a18•(

1

2

)n-1=4×(

1

2

)n-1=8×(

1

2

)n．
所以An=

an1+an8

2

×8=36×(

1

2

)n，
所以an=2n（1≤n≤8，n∈N^*）．…（6分）
因为mb_n+1=2（a_n+mb_n），
所以mbn+1=2n+1+2mbn．
整理得

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=

1

m

．
而cn=

bn

an

，所以cn+1-cn=

1

m

，
所以{c_n}是等差数列．…（8分）
故c1+c2+…+c7=

(c1+c7)×7

2

．
因为

1

m

≠0，
所以c₁≠c₇．
所以2c1c7＜c12+c72．
所以(c1+c7)2=

c

2 1

+

c

2 7

+2c1c7＜2(

c

2 1

+

c

2 7

)=200，
所以-10

2

＜c1+c7＜10

2

．
所以c₁+c₂+…+c₇的取值范围是(-35

2

 ， 35

2

)．…（10分）
（Ⅲ）因为dn=200×(

1

2

)n是一个正项递减数列，
所以当d_n≥1时，B_n≥B_n-1，当d_n＜1时，B_n＜B_n-1．（n∈N^*，n＞1）
所以{B_n}中最大项满足

dn≥1 dn+1＜1

即

200×( 1 2 )n≥1 200×( 1 2 )n+1＜1

…（12分）
解得6+log

1

2

16

25

＜n≤7+log

1

2

16

25

．
又0＜log

1

2

16

25

＜1，且n∈N^*，
所以n=7，即{B_n}中最大项的项数为7．…（14分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，函数的函数特征，考查分析问题解决问题的能力，数列的单调性的应用．