Question

数列 2，8，20，40，70，…的一个通项公式为（　　）

• A、a_n=n²+3n-2
• B、a_n=6n-4
• C、a_n=

  n(n+1)(n+2)

  3

• D、a_n=2n²

Answer 1

分析：设数列 2，8，20，40，70，…的一个通项为a_n，则a₂-a₁=8-2=6，a₃-a₂=20-8=12，a₄-a₃=40-20=20，a₅-a₄=70-40=30，…．设数列{b_n}表示：6，12，20，30，…，且b_n=a_n+1-a_n，则b₂-b₁=12-6=6，b₃-b₂=20-12=8，b₄-b₃=30-20=10，…．可知数列{b_n+1-b_n}是等差数列．利用等差数列的通项公式即可得到b_n+1-b_n，利用“累加求和”可得b_n，进而得到a_n．

解答：解：设数列 2，8，20，40，70，…的一个通项为a_n，
则a₂-a₁=8-2=6，a₃-a₂=20-8=12，a₄-a₃=40-20=20，a₅-a₄=70-40=30，…．
设数列{b_n}表示：6，12，20，30，…，且b_n=a_n+1-a_n，
则b₂-b₁=12-6=6，b₃-b₂=20-12=8，b₄-b₃=30-20=10，…．
∴数列{b_n+1-b_n}是等差数列，首项为6，公差为2．
∴b_n+1-b_n=6+2（n-1）=2n+4．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=[2（n-1）+4]+[2（n-2）+4]+…+（2×1+4）+6
=

2(n-1)(n-1+1)

2

+4（n-1）+6
=n²+3n+2．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=[（n-1）²+（n-2）²+…+1²]+3[（n-1）+（n-2）+…+1]+2（n-1）+2
=

(n-1)n[2(n-1)+1]

6

+3×

(n-1)(n-1+1)

2

+2n
=

n(n+1)(n+2)

3

．
故选：C．

点评：本题考查了转化为等差数列的数列的通项公式的求法、公式(12+22+…+n2=

n(n+1)(2n+1)

6

)的应用、“累加求和”等基础知识与基本技能方法，属于难题．当然本题也可以用特殊值进行排除的方法．