Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）²，当-1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=

1. A.
   335
2. B.
   338
3. C.
   1678
4. D.
   2012

Answer 1

B
分析：由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6为周期的函数，可根据题目信息分别求得f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案．
解答：∵f（x+6）=f（x），
∴f（x）是以6为周期的函数，
又当-1≤x＜3时，f（x）=x，
∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（-1）=-1=f（5），f（0）=0=f（6）；
当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）²，
∴f（3）=f（-3）=-（-3+2）²=-1，
f（4）=f（-2）=-（-2+2）²=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2-1+0+（-1）+0=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）
=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）]+f（2011）+f（2012）
=335×1+f（1）+f（2）
=338．
故选B．
点评：本题考查函数的周期，由题意，求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．