题目内容

过抛物线 $数学公式$ 焦点的直线与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点．则 $数学公式$ =；若该抛物线上有两点M、N，满足OM⊥ON，则直线MN必过定点．

- $\text{[math]}$ （0，2）
分析：（1）由抛物线方程可求焦点F，设出直线AB的方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A两点坐标，由韦达定理可以求得答案．
（2）设MN的方程，联立直线与抛物线方程，根据方程的根与系数关系可得M，N的坐标的关系式，根据MO⊥NO推断出，即可
解答：∵抛物线 $\text{[math]}$ 焦点F（0， $\text{[math]}$ ）
设过焦点F的直线AB的方程为y=kx+ $\text{[math]}$ ，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程 $\text{[math]}$ 可得x²-2kx-1=0
∴x₁x₂=-1， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ =x₁x₂+y₁y₂= $\text{[math]}$
设直线MN的方程为y=mx+n，M（a，b），N（c，d）
联立方程 $\text{[math]}$ 可得x²-2mx-2n=0
则c+c=2m，ac=-2n，bd= $\text{[math]}$ =n²
∵OM⊥ON
∴ $\text{[math]}$ =ac+bd=-2n+n²=0
∵n≠0
∴n=2，，即直线MN的方程为y=mx+2，从而可得直线MN过定点（0，2）
故答案为： $\text{[math]}$ ；（0，2）
点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式，涉及到直线与圆锥线的问题一般是联立方程，设而不求，属于中档题．