Question

已知圆心为O，半径为1，弧度数为π的圆弧

AB

上有两点P，C，其中

BC

=

AC

（如图）．
（1）若P为圆弧

BC

的中点，E在线段OA上运动，求|

OP

+

OE

|的最小值；
（2）若E，F分别为线段OA，OC的中点，当P在圆弧

AB

上运动时，求

PE

•

PF

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得C为

AB

 的中点，设OE=x（0≤x≤1），计算|

OP

+

OE

|2=(x-

2

2

)2+

1

2

，利用二次函数的性质求得它的最小值．
（2）以O为原点，BA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出E、F的坐标，设P（x，y），则x²+y²=1（y≥0），计算 

PE

•

PF

=(

1

2

-x，-y)•(-x，

1

2

-y)=1-

1

2

(x+y)，可得当x+y取得最小值时，

PE

•

PF

取得最大值，计算求得结果．

解答：解：（1）由题意

BC

=

AC

 可得 C为

AB

 的中点，设OE=x（0≤x≤1），
则 |

OP

+

OE

|2= 

OP

2+2

OP

•

OE

+

OE

 2= 1+2×1×x×cos

3π

4

+x2=(x-

2

2

)2+

1

2

，
所以当x=

2

2

时，|

OP

+

OE

|的最小值为

2

2

．
（2）以O为原点，BA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则E(

1

2

，0)，F(0，

1

2

)，
设P（x，y），则x²+y²=1（y≥0），
∴

PE

•

PF

=(

1

2

-x，-y)•(-x，

1

2

-y)=1-

1

2

(x+y)，
故当x=-1 且y=0时，x+y取得最小值为-1，所以，

PE

•

PF

的最大值是 1-（-

1

2

）=

3

2

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量的坐标形式的运算，二次函数的性质应用，属于中档题．