Question

已知圆心为O，半径为1，弧度数为π的圆弧上有两点P，C，其中=（如图）．
（1）若P为圆弧的中点，E在线段OA上运动，求的最小值；
（2）若E，F分别为线段OA，OC的中点，当P在圆弧上运动时，求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得C为 的中点，设OE=x（0≤x≤1），计算=，利用二次函数的性质求得它的最小值．
（2）以O为原点，BA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出E、F的坐标，设P（x，y），则x²+y²=1（y≥0），计算 ，可得当x+y取得最小值时，取得最大值，计算求得结果．
解答：解：（1）由题意= 可得 C为 的中点，设OE=x（0≤x≤1），
则 =，
所以当时，的最小值为．
（2）以O为原点，BA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，，
设P（x，y），则x²+y²=1（y≥0），
∴，
故当x=-1 且y=0时，x+y取得最小值为-1，所以，的最大值是 1-（-）=．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量的坐标形式的运算，二次函数的性质应用，属于中档题．