Question

已知函数f（x）=x²+2xsinθ-1，x∈[-

3

2

，

1

2

]
（1）当θ=

π

6

时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是单调增函数，且θ∈[0，2π），求θ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题目条件，可以确定函数的解析式f(x)=x2+x-1=(x+

1

2

)2-

5

4

，从而利用二次函数的单调性求得函数f（x）的最大值和最小值；
（2）由f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是单调增函数，利用对称轴与给定区间的关系，求出-sinθ≤-

3

2

，即可得到θ的取值范围．

解答：解（1）θ=

π

6

时，f(x)=x2+x-1=(x+

1

2

)2-

5

4

由x∈[-

3

2

，

1

2

]，当x=-

1

2

时，f（x）有最小值为-

5

4

当x=

1

2

时，f（x）有最大值为-

1

4

（2）f（x）=x²+2xsinθ-1的图象的对称轴为x=-sinθ，
由于f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是单调增函数      
所以-sinθ≤-

3

2

，
即sinθ≥

3

2

，又∵θ∈[0，2π）
所求θ的取值范围是[

π

3

，

2π

3

]．

点评：本题主要考查了二次函数的单调性，利用配方求得其对称轴，结合函数的图象直观形象，是个中档题．