题目内容
已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，数列{bn}中，b1=1，且点（bn+1，bn）在直线y=x-1上．
（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）若cn=an+3，求数列{bncn}的前n项和Sn．
（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）若cn=an+3，求数列{bncn}的前n项和Sn．
分析：（Ⅰ）由an+1=2an+3得an+1+3=2（an+3），由此能求出an．
（Ⅱ）因为（bn+1，bn）在直线y=x-1上，所以bn=bn+1-1即bn+1-bn=1，由此能求出bn．
（Ⅲ）由cn=an+3=2n+1-3+3=2n+1，知bncn=n•2n+1，所以Sn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1，再由错位相减法能求出Sn．
（Ⅱ）因为（bn+1，bn）在直线y=x-1上，所以bn=bn+1-1即bn+1-bn=1，由此能求出bn．
（Ⅲ）由cn=an+3=2n+1-3+3=2n+1，知bncn=n•2n+1，所以Sn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1，再由错位相减法能求出Sn．
解答：解：（Ⅰ）由an+1=2an+3得an+1+3=2（an+3）
所以{an+3}是首项为a1+3=4，公比为2的等比数列．
所以an+3=4×2n-1=2n+1，故an=2n+1-3
（Ⅱ）因为（bn+1，bn）在直线y=x-1上，
所以bn=bn+1-1即bn+1-bn=1又b1=1
故数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以bn=n
（Ⅲ）cn=an+3=2n+1-3+3=2n+1故bncn=n•2n+1
所以Sn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1
故2Sn=1×23+2×24+…+（n-1）•2n+1+n•2n+2
相减得-Sn=22+23+24+…+2n+1-n•2n+2=
-n•2n+2=(1-n)2n+2-4
所以Sn=（n-1）•2n+2+4
所以{an+3}是首项为a1+3=4，公比为2的等比数列．
所以an+3=4×2n-1=2n+1，故an=2n+1-3
（Ⅱ）因为（bn+1，bn）在直线y=x-1上，
所以bn=bn+1-1即bn+1-bn=1又b1=1
故数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以bn=n
（Ⅲ）cn=an+3=2n+1-3+3=2n+1故bncn=n•2n+1
所以Sn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1
故2Sn=1×23+2×24+…+（n-1）•2n+1+n•2n+2
相减得-Sn=22+23+24+…+2n+1-n•2n+2=
| 4(2n-1) |
| 2-1 |
所以Sn=（n-1）•2n+2+4
点评：本题考查数列的通项公式的计算和前n项和公式的求法，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用．
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D、
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