Question

8．已知函数f（x）=$\root{6}{a{x}^{2}+ax+1}$的定义域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数的定义域为R，转化为不等式恒成立进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\root{6}{a{x}^{2}+ax+1}$的定义域为R，
∴等价为ax²+ax+1≥0恒成立，
若a=0，则不等式等价为1≥0成立，满足条件．
若a≠0，要使不等式恒成立，则等价为$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{0≤a≤4}\end{array}\right.$，即0＜a≤4，
综上0≤a≤4，
即实数a的取值范围是[0，4]，

点评 本题主要考查函数定义域的应用，根据不等式恒成立是解决本题的关键．