题目内容
当x∈（0，π）时，函数f（x）=
的最小值是（ ）
| 1+cos2x+sin2x |
| sinx |
分析：运用倍角公式把给出的函数的分子化为正弦的形式，整理得到f(x)=
-sinx，然后利用换元法把函数变为为y=
-t （t∈（0，1]）．求导后得到该函数的单调性，则函数在单调区间（0，1]上的最小值可求．
| 2 |
| sinx |
| 2 |
| t |
解答：解：f(x)=
=
=
=
-sinx
令sinx=t，∵x∈（0，π），∴t∈（0，1]．
则函数化为y=
-t （t∈（0，1]）．判断知，此函数在（0，1]上是个减函数．
（也可用导数这样判断∵y′=(
-t)′=-
-1=
＜0．∴为y=
-t （t∈（0，1]）为减函数．）
∴ymin=2-1=1．
∴当x∈（0，π）时，函数f（x）=
的最小值是1．
故选D．
| 1+cos2x+sin2x |
| sinx |
=
| 1+1-2sin2x+sin2x |
| sinx |
=
| 2-sin2x |
| sinx |
=
| 2 |
| sinx |
令sinx=t，∵x∈（0，π），∴t∈（0，1]．
则函数化为y=
| 2 |
| t |
（也可用导数这样判断∵y′=(
| 2 |
| t |
| 2 |
| t2 |
| -2-t2 |
| t2 |
| 2 |
| t |
∴ymin=2-1=1．
∴当x∈（0，π）时，函数f（x）=
| 1+cos2x+sin2x |
| sinx |
故选D．
点评：本题考查了二倍角的余弦公式，考查了利用换元法求三角函数的最小值，训练了利用函数的导函数判断函数的单调性，此题是中档题．
练习册系列答案
相关题目
函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2
，则f（x）在区间（1，2）上是（ ）
| 1 |
| 1-x |
| A、减函数，且f（x）＜0 |
| B、增函数，且f（x）＜0 |
| C、减函数，且f（x）＞0 |
| D、增函数，且f（x）＞0 |