Question

（本小题满分12分）

已知函数f(x)=（x∈R），Ｐ1（ｘ1，ｙ1），Ｐ2（ｘ2，ｙ2）是函数ｙ＝ｆ(x)图像上两点，且线段Ｐ1Ｐ2中点Ｐ的横坐标为。

（１）求证Ｐ的纵坐标为定值；    （4分）

（２）若数列｛｝的通项公式为＝ｆ()(ｍ∈Ｎ，ｎ＝１,２,３,…,ｍ），求数列｛｝的前ｍ项和；     （5分）

（３）若ｍ∈Ｎ时，不等式＜横成立，求实数a的取值范围。（3分）

 

Answer 1

【答案】

 

（1）略

（2）（３ｍ－１）

（3）

【解析】解答：（１）由＝，知ｘ＋ｘ＝１，

则ｙ＋ｙ＝＋＝…＝           故＝。-------4分

（２）已知Ｓ＝ｆ()+ｆ()+ｆ()+…+ｆ()+ｆ()

易证ｆ()+ｆ()＝，ｆ（１）＝           ----------------6分

前ｍ－１项逆序相加２Ｓ＝［ｆ()+ｆ()］+［ｆ()+ｆ()］+［ｆ()＋ｆ()］+…+［ｆ()+ｆ()］+［ｆ()＋ｆ()］

＝（３ｍ－１）                        ------------9分

（３）＜ａ（－）＜０依题意知对任意ｍ∈Ｎ恒成立，显然ａ≠０，

（Ⅰ）当ａ＜０时，显然－＞０，则ａ＜０，

当ｍ取偶数时，显然不成立，故此时不合题意                  ---------10分

（Ⅱ）当ａ＞０时，ａ＞０，则需－＜０，解得ａ＞＝１＋，ｍ∈Ｎ时，单调递减，故１＋≤，故此时ａ＞．

综上所述：ａ＞。                        -----------12 分