Question

如图,已知立体图形ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形,A₁AB₁BC₁CD₁D,且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°,求证:C₁C⊥BD.

Answer 1

解析:证明BD⊥面AA₁C₁C.

证明:如图,连结A₁C₁、AC、C₁D、C₁B,AC和BD交于O,连结C₁O.

由四边形ABCD为菱形,得AC⊥BD,BC=CD.

又∠BCC₁=∠DCC₁,C₁C=C₁C,

则△C₁BC≌△C₁DC,

故C₁B=C₁D.

由于DO=OB,所以C₁O⊥BD.

又∵AC⊥BD,AC∩C₁O=O,

从而BD⊥平面AC₁.

又C₁C平面AC₁,故C₁C⊥BD.

小结:证明线线垂直常用线面垂直来证明,也可以利用三垂线定理或逆定理证.