Question

已知函数f（x）=x²-（a²-a）x-2
（1）若当x∈[1，3]时，f（x）为单调函数，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在[2，4]上的最大值g（a）；
（3）求g（a）的最大值．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=x²-（a²-a）x-2的图象是开口方向朝上，以x=为对称轴的抛物线
若当x∈[1，3]时，f（x）为单调函数，
则≤1，或≥3
解得a≤-2，或-1≤a≤2，或a≥3
故a的取值范围为（-∞，-2]∪[-1，2]∪[3，+∞）
（2）当≥3，即a≤-2，或a≥3时，f（x）在[2，4]上的最大值g（a）=f（2）=-2（a²-a）+2；
当＜3，即-2＜a＜3时，f（x）在[2，4]上的最大值g（a）=f（4）=-4（a²-a）+14；
故g（a）=
（3）由（2）得当a≤-2，或a≥3时时，g（a）的最大值为-10
当-2＜a＜3时g（a）的最大值为15
故g（a）的最大值为15
分析：（1）由已知中函数f（x）=x²-（a²-a）x-2，我们可以分析出函数的图象形状，根据当x∈[1，3]时，f（x）为单调函数，则区间[1，3]应该完全在函数图象对称轴的同一侧，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到满足条件的a的取值范围；
（2）根据二次函数的图象和性质，分别讨论函数的对称轴与区间[2，4]的关系，即可求出函数f（x）在[2，4]上的最大值g（a）的表达式；
（3）根据（2）中g（a）的解析式，根据分段函数分段处理的原则，结合二次函数在定区间上的最值的求法，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，函数单调性的性质，二次函数的图象和性质，其中在解答含有参数的二次函数问题时，判断对称轴与给定区间的范围，以此为分类标准对参数进行分类讨论，是解答的关键．