Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，底面ABCD直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2BC=2，$CD=\sqrt{3}$，平面PAD⊥底面ABCD，若M为AD的中点．
（Ⅰ）求证：BM⊥面PAD；
（Ⅱ）在线段PC上是否存在点E，使二面角E-BM-C等于30°，若存在，求$\frac{PE}{EC}$的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）通过证明BM⊥AD，利用平面PAD与底面ABCD垂直的性质定理证明BM⊥平面PAD．
（II）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面BMC的法向量，设E（x，y，z），设$\overrightarrow{PE}=t\overrightarrow{EC}（t＞0）$，求出平面EBM法向量，通过二面角E-BM-C等于30°，列出方程求解t，即可判断是否存在点E，满足题意．

解答 （I）证明：∵AD∥BC，AD=2BC，M为AD的中点，
∴四边形BCDM为平行四边形，…（2分）
∴BM∥CD，∵∠ADC=90°，
∴BM⊥AD，…（4分）
又∵平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BM⊥平面PAD；…（6分）
（II）解：侧面PAD是正三角形，M为AD的中点，∴PM⊥AD，
由（I）知PM、AD、MB两两垂直，…（7分）
如图建立空间直角坐标系，则M（0，0，0），$P（0，0，\sqrt{3}）$，$B（0，\sqrt{3}，0）$，$C（-1，\sqrt{3}，0）$，
平面BMC的法向量为n=（0，0，1），…（8分）
设E（x，y，z），则$\overrightarrow{PE}=（x，y，z-\sqrt{3}）$，
$\overrightarrow{EC}=（-1-x，\sqrt{3}-y，-z）$，
设$\overrightarrow{PE}=t\overrightarrow{EC}（t＞0）$，
则$\left\{\begin{array}{l}x=t（-1-x）\\ y=t（\sqrt{3}-y）\\ z-\sqrt{3}=t（-z）\end{array}\right.$，$E（-t，\sqrt{3}t，\sqrt{3}）$，…（9分）
∵$\overrightarrow{MB}=（0，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{ME}=（-t，\sqrt{3}t，\sqrt{3}）$，
∴平面EBM法向量为${m}=（\sqrt{3}，0，t）$，…（10分）
二面角E-BM-C等于30°，∴$|{\frac{{{n}•{m}}}{{|{n}||{m}|}}}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即$\frac{t}{{\sqrt{3+0+{t^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得t=3，
∴存在点E，$\frac{PM}{MC}=3$．   …（12分）

点评 本题考查平面与平面垂直的性质定理的应用，二面角的求法与应用，存在性问题的处理方法，考查空间想象能力以及计算能力．