题目内容
8．设在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x-3，x-y）．（Ⅰ）在一个盒子中，放有标号为2，3，4的三张卡片，从此盒中先抽取一张卡片其标号记为x，放回后再抽取一张卡片其标号记为y，若|OP|表示O与P两点之间距离，求事件“|OP|=1”的概率；
（Ⅱ）若利用计算机随机在[0，4]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．
分析 （I）列出抽出的卡片的所有情况以及使|OP|=1的情况，利用古典概型解答；
（II）在[0，4]上先后取两个数分别记为x，y，为正方形区域，满足P点在第一象限的区域是满足$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤4\\ 0≤y≤4\\ x-3＞0\\ x-y＞0\end{array}\right.$，分别求出面积，利用几何概型个数解答．
解答 解：（I）抽出的卡片的所有情况分别是：
| （x，y） | （2，2） | （2，3） | （2，4） | （3，2） | （3，3） | （3，4） | （4，2） | （4，3） | （4，4） |
| P坐标 | （-1，0） | （-1，-1） | （-1，-2） | （0，1） | （0，0） | （0，-1） | （1，2） | （1，1） | （1，0） |
| |OP| | 1 | $\sqrt{2}$ | $\sqrt{5}$ | 1 | 0 | 1 | $\sqrt{5}$ | $\sqrt{2}$ | 1 |
使|OP|=1的（x，y）有（2，2）、（3，2）、（3，4），（4，4），有4种情况，
事件“|OP|=1”的概率$\frac{4}{9}$；…（6分）
（II）在[0，4]上先后取两个数分别记为x，y，则$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤4\\ 0≤y≤4\end{array}\right.$，
在平面直角坐标系xOy中表示的区域的面积是16，…（8分）P点在第一象限应满足$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤4\\ 0≤y≤4\\ x-3＞0\\ x-y＞0\end{array}\right.$，如图
…（10分）在平面直角坐标系xOy中表示的区域的面积是$\frac{7}{2}$，
∴P点在第一象限的概率是$\frac{7}{32}$．…（12分）
点评 本题考查了古典概型和几何概型的应用，古典概型关键是明确事件个数，几何概型关键是明确测度，利用长度、面积或者体积比求概率．
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指数函数
单调递增；命题
，
.若命题“
”为真命题，命题“
”为假命题，求实数
的取值范围.