Question

过抛物线y²=4ax（a＞0）的焦点F，作相互垂直的两条焦点弦AB和CD，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

分析：根据抛物线方程求得焦点坐标，设直线AB方程为y=k（x-a），则CD方程可得，分别代入抛物线方程，根据抛物线定义可知|AB|=x_A+x_B+p，|CD|=x_C+x_D+p进而可求得|AB|+|CD|的表达式，根据均值不等式求得|AB|+|CD|的最小值为16a．

解答：解：抛物线的焦点F坐标为（a，0），设直线AB方程为y=k（x-a），
则CD方程为y=-

1

k

(x-a)，
分别代入y²=4x得：k²x²-（2ak²+4a）x+k²a²=0及

1

k2

x2-(2a

1

k2

+4a)x+

a2

k2

=0，
∵|AB|=xA+xB+p=2a+

2a

k2

+2a，|CD|=x_C+x_D+p=2a+4ak²+2a，
∴|AB|+|CD|=8a+

4a

k2

+4ak2≥16a，当且仅当k²=1时取等号，
所以，|AB|+|CD|的最小值为16a．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．涉及了直线与抛物线的关系及抛物线的定义．