Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】

试题（Ⅰ）设中点为，连结，易证得四边形为平行四边形，从而结合正方形的性质得到四边形为平行四边形，进而使问题得证；（Ⅱ）以点的原点建立空间坐标系，得到相关点坐标及向量，求出平面的一个法向量，从而由空间夹角公式求解；（Ⅲ）由平面平面，得到两平面的法向量乘积为0，从面求得点的坐标，进而求得的值．

试题解析：（Ⅰ）设中点为，连结，

因为，且，

所以且，

所以四边形为平行四边形，

所以，且．

因为正方形，所以，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，

所以．

因为平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则，，，，，

所以，，．

设平面的一个法向量为，所以．

令，则，所以．

设与平面所成角为，

则．

所以与平面所成角的正弦值是．

（Ⅲ）依题意，可设，则，．

设平面的一个法向量为，则．

令，则，所以．

因为平面平面，

所以，即，

所以， 点，

所以．