题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：
的焦点为F，过F的直线
交抛物线C于A，B两点．
（1）求线段AF的中点M的轨迹方程；
（2）已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线的方程．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）设线段AF的中点的坐标为
，
，即可求得
，将它们代入
即可得解。
（2）设
，由△AOB的面积是△BOF面积的3倍可得：直线
的斜率存在，且
的面积是
面积的2倍，即可整理得：
，设直线的方程为：
，联立直线方程与抛物线方程可得：
，
，结合即可求得：
，问题得解。
（1）设线段AF的中点的坐标为，
由抛物线
的方程可得：焦点
由中点坐标公式可得：
即：
又在抛物线上，所以
，
将代入上式可得：
整理得：
所以线段AF的中点M的轨迹方程为：
（2）依据题意作出图形，如下：
设，且
与
的取值一正、一负
因为△AOB的面积是△BOF面积的3倍，所以直线的斜率存在，
且的面积是面积的2倍，
即：
，整理得：
设直线的方程为：
联立直线与抛物线方程可得：
，整理得：
.
所以，
由
解得：.
所以直线的方程为：
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