Question

（2011•揭阳一模）已知x1=

1

3

，xn+1=

x

2 n

+xn-a．（n∈N^*，a为常数）
（1）若a=

1

4

，求证：数列{lg(xn+

1

2

)}是等比数列；
（2）在（1）条件下，求证：xn≤(

5

6

)n-

1

2

，(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由xn+1=

x

2 n

+xn-

1

4

，知xn+1+

1

2

=xn2+xn+

1

4

=(xn+

1

2

)2，由x1=

1

3

，知xn+

1

2

＞0，由此能够证明数列{lg(xn+

1

2

)}是等比数列．
（2）由（1）知lg(xn+

1

2

)=(lg

5

6

)•2n-1，即xn+

1

2

=(

5

6

)2n-1，由0＜

5

6

＜1，知要证(

5

6

)n-

1

2

≥xn，只需证2ⁿ≥2n，由此能够证明证：xn≤(

5

6

)n-

1

2

，(n∈N*)．

解答：证明：（1）∵xn+1=

x

2 n

+xn-

1

4

，
∴xn+1+

1

2

=xn2+xn+

1

4

=(xn+

1

2

)2，（1分）
∵x1=

1

3

∴xn+

1

2

＞0，则 lg(xn+1+

1

2

)=2lg(xn+

1

2

)，（3分）
∴数列{lg(xn+

1

2

)}是以lg

5

6

为首项，以2为公比的等比数列，（4分）
（2）由（1）知lg(xn+

1

2

)=(lg

5

6

)•2n-1，化简得xn+

1

2

=(

5

6

)2n-1
∵0＜

5

6

＜1，∴要证(

5

6

)n-

1

2

≥xn，只需证2ⁿ≥2n，（8分）
证法一：当n=1或2时，有2ⁿ=n，
当n≥3时，2n=(1+1)n=1+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

≥1+n+

n(n-1)

2

≥1+2n＞2n，（10分）
∴2ⁿ≥2n对n∈N^*都成立，n=1
∴xn≤(

5

6

)n-

1

2

，，(n∈N*)．（12分）
证法二：用数学归纳法证明，
①当时，结论显然成立；n=k+1，（9分）
②假设当n=k（k≥1）时结论成立，即2^k≥2k，
当n=k+1时，2^k+{x_{n+1}}=x_n^2+{x_n}={x_n}（{x_n}+1）1=2•2^k≥2•2k＞2（k+1），

1

xn+1

=

1

xn(xn+1)

=

1

xn

-

1

xn+1

1

xn+1

=

1

xn

-

1

xn+1

，（10分）
∴当时结论也成立
综合①、②知xn≤(

5

6

)n-

1

2

，对n∈N^*都成立．（12分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．