Question

5．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足6S_n=（a_n+1）（a_n+2）n∈N^*，则下列说法中，正确的是（　　）

• A． 数列{a_n}一定是一个等差数列
• B． 数列{a_n}一定是一个等比数列
• C． 数列{a_n}一定是等差数列或等比数列
• D． 数列{a_n}可能既不是等差数列也不是等比数列

Answer 1

分析 根据数列的递推关系求出数列通项公式满足的递推关系，结合等比数列和等差数列的定义进行判断即可．

解答 解：n=1时，6a₁=a₁²+3a₁+2，
即a₁²-3a₁+2=0，解得a₁=2或a₁=1．
n≥2时，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∴a_n+a_n-1=0或a_n-a_n-1=3，
若a_n+a_n-1=0，则a_n=-a_n-1，则数列{a_n}是一个等比数列，
若a_n-a_n-1=3，
则数列{a_n}一定是等差数列或等比数列，
故选：C．

点评 本题主要考查递推数列的应用，根据条件求出数列的递推关系是解决本题的关键．