题目内容
如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕点C旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动．当曲柄在CB位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连杆AB的长为lmm，曲柄CB的长为rmm，l＞r．（1）若l=300mm，r=80mm，当曲柄CB按顺时针方向旋转角为θ时，连杆的端点A此时离A的距离为AA=110mm，求cosθ的值；
（2）当曲柄CB按顺时针方向旋转角θ为任意角时，试用l、r、θ表示活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离AA）
【答案】分析：（1）在三角形中，利用余弦定理，可求cosθ的值；
（2）分类讨论，在△ABC中，由余弦定理，结合AA=AC-AC，即可求得结论．
解答：解：（1）由已知AA=110mm时，可得AC=300+80-110=270．
又AB=l=300mm，BC=r=80mm
∴cosθ=
=
；
（2）设AC=x，若θ=0，则AA=0；若θ=π，则AA=2r
若0＜θ＜π，在△ABC中，由余弦定理，可得AB2=AC2+BC2-2AC•BCcosC
∴x2-2r（cosθ）x-（l2-r2）=0
∴
（mm），
＜0（不合题意，舍去）
∴AA=AC-AC=（
（mm）
若π＜θ＜2π，则根据对称性，将上式中的θ改为2π-θ即可，有
AA=（
（mm）
∴θ为任意角时，有AA=（
（mm）．
点评：本题考查余弦定理的运用，考查三角模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
（2）分类讨论，在△ABC中，由余弦定理，结合AA=AC-AC，即可求得结论．
解答：解：（1）由已知AA=110mm时，可得AC=300+80-110=270．
又AB=l=300mm，BC=r=80mm
∴cosθ=
=
；（2）设AC=x，若θ=0，则AA=0；若θ=π，则AA=2r
若0＜θ＜π，在△ABC中，由余弦定理，可得AB2=AC2+BC2-2AC•BCcosC
∴x2-2r（cosθ）x-（l2-r2）=0
∴
（mm），
＜0（不合题意，舍去）∴AA=AC-AC=（
（mm）若π＜θ＜2π，则根据对称性，将上式中的θ改为2π-θ即可，有
AA=（
（mm）∴θ为任意角时，有AA=（
（mm）．点评：本题考查余弦定理的运用，考查三角模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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