Question

已知（x•cosθ+1）ⁿ（n≤N^*）的展开式中，所有项的二项式系数之和为32，且展开式中含x²的系数与的展开式中x³的系数相等，则锐角θ的值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由题意，（x•cosθ+1）ⁿ的展开式中二项式系数之和为32，即2ⁿ=32，可得n=5；由二项式定理求得（x•cosθ+1）ⁿ展开式中x²项的系数与的展开式中x³的系数，令两者相等根据题意，可得10cos²θ=5，解可得，又由θ为锐角，可得cosθ的值，进而可得答案．
解答：由（x•cosθ+1）ⁿ（n≤N^*）的展开式中二项式系数之和为32，得2ⁿ=32，则n=5；
故（x•cosθ+1）ⁿ（n≤N^*）展开式中x²的系数为C₅³cos²θ=10cos²θ，
的展开式中x³的系数为，
根据题意，有10cos²θ=5，则，
又由θ为锐角，则，
即；
故选D．
点评：本题考查二项式定理的应用，注意角θ为锐角，其余弦为正值．