Question

（本小题满分12分）

    已知函数f（x）＝ln（x＋a）－x2－x在x＝0处取得极值．

   （Ⅰ）求实数a的值；

   （Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝－x＋b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；

   （Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式ln<都成立．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）   a=1

（2）   ln3 -1≤b<ln2 +

（3）   略

【解析】解：(Ⅰ)  =  ，∵x=0时，f(x)取得极值，∴=0，

故 =0，解得a=1.经检验a=1符合题意. ……………4分

(Ⅱ)由知，由,得

，令,

则f(x)= +b在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0，2]恰有两个不同实数根．

 ，

当x∈(O，1)时，，于是在(O，1)上单调递增；

当x∈(1，2)时，，于是在(1，2)上单调递减．

依题意有

 ∴ln3 -1≤b<ln2 +.………………………………………8分

(Ⅲ) 的定义域为{x|x> -1}，

 由(Ⅰ)知， 令=0得，x=0或x= (舍去)，

 ∴当-1<x<0时，>0，f(x)单调递增； 当x>0时，<0，f(x)单调递减.

∴f(0)为f(x)在(-1,+∞)上的最大值.

∴f(x)≤ f(0)，故ln(x+1)-x2-x≤0(当且仅当x=0时，等号成立).

对任意正整数n，取x=>0得，ln(+1)< +，

故ln()<.……………………………………12分