Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，n∈N^*，a_n＞0，数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足an+1=

2

Sn+1+Sn-1

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{S_n}中存在若干项，按从小到大的顺序排列组成一个以S₁为首项，3为公比的等比数列{b_n}，
①求数列{b_n}的项数k与n的关系式k=k（n）；
②记cn=

1

k(n)-1

(n≥2)，求证：

n

i=2

ci∈[

1

3

，

2

3

)．

Answer 1

分析：（1）利用an+1=

2

Sn+1+Sn-1

，可得Sn+1-Sn=

2

Sn+1+Sn-1

，从而可得数列{(Sn-

1

2

)2}是以

1

4

为首项，2为公差的等差数列，进而可求S_n，利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可求得数列的通项；
（2）①先确定b_n=3^n-1，再设b_n是数列{S_n}中的第k项，即可求得结论；
②n≥2时，cn=

1

k(n)-1

=2(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)＜2(

1

3n-1

-

1

3n

)，由此可证结论．

解答：（1）解：∵an+1=

2

Sn+1+Sn-1

∴Sn+1-Sn=

2

Sn+1+Sn-1

∴(Sn+1-

1

2

)2-(Sn-

1

2

)2=2
∵a₁=1，∴(S1-

1

2

)2=

1

4

∴数列{(Sn-

1

2

)2}是以

1

4

为首项，2为公差的等差数列
∴(Sn-

1

2

)2=

1

4

+2(n-1)=

8n-7

4

∵a₁=1，a_n＞0，
∴S_n＞1
∴Sn=

1

2

+

8n-7

2

∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

8n-7 - 8n-15

2

当n=1时，a₁=1，
∴a_n=

1，n=1 8n-7 - 8n-15 2 ，n≥2

；
（2）①解：∵数列{S_n}中存在若干项，按从小到大的顺序排列组成一个以S₁为首项，3为公比的等比数列{b_n}，
∴b_n=3^n-1
设b_n是数列{S_n}中的第k项，即

1

2

+

8k-7

2

=3n-1，∴k=

(3n-1-1)•3n-1

2

+1
∴k(n)=

(3n-1-1)•3n-1

2

+1；
②证明：n≥2时，cn=

1

k(n)-1

=2(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)＜2(

1

3n-1

-

1

3n

)，
∴

n

i=2

ci＜2[(

1

3

-

1

32

)+…+(

1

3n-1

-

1

3n

)]=2(

1

3

-

1

3n

)＜

2

3

∵

n

i=2

ci≥c2=

1

3

∴

n

i=2

ci∈[

1

3

，

2

3

)．

点评：本题考查的知识点为等差数列、等比数列的基础知识，考查不等式的证明，同时考查了推理论证能力，属于中档题．