Question

（2008•宣武区一模）已知函数f（x）=x³+ax²-x+2，（a∈R）
（1）若f（x）在（0，1）上是减函数，求a的最大值；
（2）若f（x）的单调递减区间是(-

1

3

，1)，求函数y=f（x）图象过点（1，1）的切线与两坐标轴围成图形的面积．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，则问题等价于f′（x）在（0，1）上恒有f′（x）≤0，从而问题得解；
（2）利用f（x）的单调递减区间可知f′（x）=3x²+2ax-1=0的两个根为 -

1

3

和1，从而可求函数的解析式；由于（1，1）可能是切点，也有可能不是切点故进行分类讨论求切线方程，进而求面积．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax-1，由题意可知，f′（x）在（0，1）上恒有f′（x）≤0，则f′（0）≤0且f′（1）≤0，得a≤-1，所以a的最大值为-1 …．（5分）
（2）∵f（x）的单调递减区间是(-

1

3

，1)，∴f′（x）=3x²+2ax-1=0的两个根为 -

1

3

和1，
可求得a=-1，∴f（x）=x³-x²-x+2，
①若（1，1）不是切点，则设切线的切点为（x₀，y₀），（x₀≠1），则有

y0-1

x0-1

=3

x

2 0

-2x0-1y₀=3x₀²-2x₀-1，解得x₀=1（舍），x₀=0，∴y₀=2，k=-1
②若（1，1）是切点，则k=f′（1）=0
综上，切线方程为y=1，x+y-2=0∴这两条切线方程与两坐标轴围成的图形为直角梯形
它的面积S=

1

2

(1+2)=

3

2

…..（13分）

点评：本题利用导数研究函数的单调性，解题的关键是理解并掌握函数的导数的符号与函数的单调性的关系，此类题一般有两类题型，一类是利用导数符号得出单调性，一类是由单调性得出导数的符号．