Question

有3个不相同的球和4个盒子，盒子的编号分别为1、2、3、4，将球逐个独立地、随机地放入4个盒子中去．以η表示其中至少有球的盒子的最小号码．（例如，事件η=3表示第1号，第2号盒子都是空的，第3号盒子中至少有一个球）．
（1）当η=2时，求P（η=2）；
（2）求η的分布列及期望Eη．

Answer 1

分析：（1）由题意η=2说明2号盒子中可以有1个球或两个球或3个球，而1号盒子为空，分2号盒子中可以有1个球或两个球或3个球三类用古典概型分别求概率，再取和即可．
（2）η所能取到的值为1，2，3，4，η=k表示前k-1个盒子为空，第k号盒子不空，分别求概率，列出分布列，再求期望即可．

解答：解：（1）η=2说明2号盒子中可以有1个球或两个球或3个球
所以

C 1 3 ×22+ C 2 3 ×2+ C 3 3

43

=

19

64

（2）η所能取到的值为1，2，3，4
P(η=1)=

C 1 3 ×32+ C 2 3 ×3+ C 3 3

43

=

37

64

P(η=3)=

C 1 3 + C 2 3 + C 3 3

43

=

7

64

P(η=4)=

C 3 3

43

=

1

64

所以分布列为：
期望Eη=

25

16

点评：本题考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机事件的分布列及期望等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．