Question

已知E、F分别在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB₁、CC₁上，且B₁E=2EB，CF=2FC₁，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于

 

．

Answer 1

分析：由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值．

解答：解：由题意画出图形如图：
因为E、F分别在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB₁、CC₁上，且B₁E=2EB，CF=2FC₁，
延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是∠BPE，因为B₁E=2EB，CF=2FC₁，
所以BE：CF=1：2
所以SB：SC=1：2，
设正方体的棱长为：a，所以AS=

2

a，BP=

2

2

a，BE=

a

3

，在RT△PBE中，tan∠EPB=

BE

PB

=

a 3

2 2 a

=

2

3

，
故答案为：

2

3

点评：本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．