题目内容
【题目】在如图所示的四棱锥
中，四边形
为正方形，
，
平面
，且
、
、
分别为
、
、
的中点，
.
⑴证明：
平面
；
⑵若
，求二面角
的余弦值.
【答案】⑴证明见解析；⑵
.
【解析】
试题分析：⑴做辅助线，由
为
中点，
为
中点
.又
为
中点，又
，
为
中点
平面
；⑵由
平面
，又
平面
.以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，求出平面
的一个法向量
，平面
的法向量为
. 由图可知，二面角
为钝角二面角
的余弦值为.
试题解析：⑴证明：连结
，分别交
、
于点
、
，连结
、
，
∵为中点，为中点，∴.……………………2分
又，∴为中点，又，，∴为中点，
∴，∴.……………………………………4分
∵
平面
，
平面
，
∴平面.………………………………5分
⑵解：∵平面，∴，又，
，
∴平面.……………………………………6分
如图 ，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则
，
则
，
，………………………………7分
∵
平面
，∴平面的一个法向量.…………8分
设平面的法向量为
，
则
，即
，…………………………9分
令
，则
，
，∴，…………10分
∴.……………………………………11分
由图可知，二面角为钝角，
∴二面角的余弦值为.……………………………………12分
练习册系列答案
相关题目
【题目】某地区2008年至2014年中，每年的居民人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年 份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.7 | 3.6 | 3.3 | 4.6 | 5.4 | 5.7 | 6.2 |
对变量t与y进行相关性检验，得知t与y之间具有线性相关关系．
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）预测该地区2017年的居民人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
