Question

求函数y=x²+4的值域.

Answer 1

分析：利用函数的单调性是讨论函数值域的重要方法.直接求导计算繁杂.通过换元t=,将问题转化为求函数y=t⁴-4t²+4t+4在［0，+∞］上的值域.

解：设≥0,则x=2-t².y=t⁴-4t²+4t+4(t≥0),设f(t)=t⁴-4t²+4t+4,f′(t)=4t³-8t+4

=4(t-1)(t-)(t+).令f′（t）=0得t₁=1,t₂=,t₃=- (舍去).

当 0≤t＜,f′(t)＞0,当＜t＜1时，f′(t)＜0,当t＞1时，f′(t)＞0.又f(0)=4,f(1)=5，f(t)=+∞.故函数y=f(t)的最小值为4无最大值.即所求函数的值域是［4，+∞).