题目内容

?x∈R，且x≠0．不等式 $数学公式$ 恒成立，则实数a的取值范围是 ________．

4＜a＜6
分析：不等式 $\text{[math]}$ 对于一切非零实数x均成立，可以先求出 $\text{[math]}$ 的最小值，然后利用|a-5|+1小于这个最小值即可求解a的取值范围．
解答：当x＞0时， $\text{[math]}$ ；
当x＜0时， $\text{[math]}$ ．
从而 $\text{[math]}$ 恒成立，
所以不等式 $\text{[math]}$ 对于一切非零实数x均成立，
可转化为|a-5|+1＜2，即|a-5|＜1
即-1＜a-5＜1所以4＜a＜6．
故答案为：4＜a＜6．
点评：应用基本不等式求最值，一定注意一正、二定、三相等；对于恒成立的问题一般转化为求函数的最值，体现了转化和分类讨论的数学思想方法．属中档题．

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15、给出下列四个结论：
①命题“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；
②“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真；
③函数f（x）=x-sinx（x∈R）有3个零点；
④对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．
其中正确结论的序号是

（填上所有正确结论的序号）

下面对命题“函数f（x）=x+

是奇函数”的证明不是综合法的是（　　）

A．?x∈R且x≠0有f（-x）=（-x）+

）=-f（x），∴f（x）是奇函数

B．?x∈R且x≠0有f（x）+f（-x）=x+

）=0，∴f（x）=-f（-x），∴f（x）是奇函数

C．?x∈R且x≠0，∵f（x）≠0，∴

=-1，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数

D．取x=-1，f（-1）=-1+

=-2，又f（1）=1+

已知函数h(x)=

(x∈R，且x＞2），函数y=t（x）的图象经过点（4，3），且y=t（x）与y=h（x）的图象关于直线y=x对称，将函数y=h（x）的图象向左平移2个单位后得到函数y=f（x）的图象．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g(x)=f(x)+

，g(x)在区间（0，3]上的值不小于8，求实数a的取值范围．
（III）若函数f（x）满足：对任意的x₁，x₂∈（a，b）（其中x₁≠x₂），有

)，称函数f（x）在（a，b）的图象是“下凸的”．判断此题中的函数f（x）图象在（0，+∞）是否是“下凸的”？如果是，给出证明；如果不是，说明理由．

设函数y=f（x）（x∈R，且x≠0），对任意非零实数x₁、x₂满足f（x₁+x₂）=f（x₁x₂），
（1）求f（1）+f（-1）的值；
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性；
（3）已知y=f（x）在（0，+∞）上为增函数且f（4）=1，解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

设函数y=f（x）（x∈R，且x≠0），对任意非零实数x₁、x₂满足f（x₁+x₂）=f（x₁x₂），
（1）求f（1）+f（-1）的值；
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性；
（3）已知y=f（x）在（0，+∞）上为增函数且f（4）=1，解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．