Question

经过点F（0，1）且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M．点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD（两端点除外）上的任意一点作直线，使直线与轨迹M在点D处的切线平行，设直线与轨迹M交于点B、C．
（1）求轨迹M的方程；
（2）证明：∠BAD=∠CAD；
（3）若点D到直线AB的距离等于，且△ABC的面积为20，求直线BC的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设动圆圆心为（x，y），由直线与圆相切可得=|y+1|，整理即得轨迹M的方程；
（2）由题意，要证∠BAD=∠CAD，可证k_AC=-k_AB，设点D（），则得，设点C（x₁，），B（x₂，），则=，化简可得①，由①及斜率公式可得k_AC+k_AB=0，从而得证；
（3）由点D到AB的距离等于|AD|，可知∠BAD=45°，不妨设点C在AD上方，即x₂＜x₁，直线AB的方程为：y-=-（x+x），与抛物线方程联立可得点B的坐标，从而可用x表示|AB|，同理可表示出|AC|，根据三角形面积为20可解得x，然后代入求出相应点的坐标，进而可得所求直线方程；
解答：解：（1）设动圆圆心为（x，y），依题意得，=|y+1|，整理，得x²=4y．
所以轨迹M的方程为x²=4y．
（2）由（1）得x²=4y，即y=，则．
设点D（），由导数的几何意义知，直线的斜率为，
由题意知点A（-x，）．设点C（x₁，），B（x₂，），
则==，即x₁+x₂=2x，
因为k_AC==，k_AB==，
由于k_AC+k_AB=+==0，即k_AC=-k_AB，
所以∠BAD=∠CAD；
（3）由点D到AB的距离等于|AD|，可知∠BAD=45°，
不妨设点C在AD上方，即x₂＜x₁，直线AB的方程为：y-=-（x+x）．
由，解得点B的坐标为（x-4，），
所以|AB|=|（x-4）-（-x）|=2|x-2|．
由（2）知∠BAD=∠CAD=45°，同理可得|AC|=2|x+2|，
所以△ABC的面积S==4|-4|=20，解得x=±3，
当x=3时，点B的坐标为（-1，），，
直线BC的方程为y-（x+1），即6x-4y+7=0；
当x=-3时，点B的坐标为（-7，），，
直线BC的方程为y-=-（x+7），即6x+4y-7=0．
点评：本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等．