Question

【题目】如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，，为侧面的对角线的交点，，分别是，中点

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)先由面面平行的判定定理证明平面平面，即可得到平面；

（2）分别以、，为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，根据法向量夹角余弦值即可得出结果.

（1）证明：由分别为边、的中点，可得，

又由直三棱柱可知侧面为矩形，可得，故有，

由直三棱柱可知侧面为矩形，可得为的中点，

又由为的中点，可得．

由，平面，，平面，

得平面，平面，

又，可得平面平面，

因为平面，

所以平面；

（2）分别以、，为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，，,,，，

设平面的一个法向量为，则

取，有

同理可求出平面的一个法向量，

结合图形知二面角的余弦值为.