题目内容
设
、
是两个不共线的非零向量（t，m∈R）
（1）若
=
，
=t
，
=
(
+
)，当t为何值时，A、B、C三点共线？
（2）若|
|=|
|=1，且
与
的夹角为120°，当m为何值时|
-m
|的值最小？
| a |
| b |
（1）若
| OA |
| a |
| OB |
| b |
| OC |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
（2）若|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：（1）由三点A，B，C共线，结合向量的共线定理可知，必存在一个常数λ使得
=λ
，由此等式建立起关于λ，t的方程求出t的值；
（2）由题设条件，可以 把|
-m
|表示成关于实数x的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x的值．
| AB |
| BC |
（2）由题设条件，可以 把|
| a |
| b |
解答：解：（1）由三点A，B，C共线，必存在一个常数λ使得
=λ
，
则有
-
=λ(
-
)
又
=
，
=t
，
=
(
+
)
∴t
-
=
λ(
+
)-λt
，又
、
是两个不共线的非零向量
∴
解得
故存在 t=
时，A、B、C三点共线
（2）∵|
|=|
|=1且
，
两向量的夹角是120°
∴|
-m
| 2=
2-2m
•
+m2
2=1+m+m2=（m+
）2+
∴当m=-
时，|
-m
|的值最小为
| AB |
| BC |
则有
| OB |
| OA |
| OC |
| OB |
又
| OA |
| a |
| OB |
| b |
| OC |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
∴t
| b |
| a |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
∴
|
|
故存在 t=
| 1 |
| 2 |
（2）∵|
| a |
| b |
| a |
| b |
∴|
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
∴当m=-
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| ||
| 2 |
点评：本题考查平面向量的综合题，解题的关键是熟练掌握向量共线的坐标表示，向量的模的坐标表示，理解题设条件，正确转化．本题把三点共线转化为了向量共线，将模的最小值求参数的问题转化为求函数的最小值，解题时要注意恰当地运用转化、化归这一数学思想
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