Question

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+a+1，函数g(x)=

11

8

x-

a2

4

-

3

2

，称方程f（x）=x的根为函数f（x）的不动点，
（1）若f（x）在区间[0，3]上有两个不动点，求实数a的取值范围；
（2）记区间D=[1，a]（a＞1），函数f（x）在D上的值域为集合A，函数g（x）在D上的值域为集合B，已知A⊆B，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，有x²-（a+2）x+a+1=x在[0，3]上有2个不同根．移项得x²-（a+3）x+a+1=0，利用二次方程根的分布即可求得实数a的取值范围．
（2）根据条件可得B=[-

1

8

-

a2

4

，

11

8

a-

1

4

a2-

3

2

]，下面对字母a进行分类讨论，结合函数的单调性求出集合A，再利用两个集合的关系建立关于a的不等式，即可得出a 的取值范围．

解答：解：（1）由题意，有x²-（a+2）x+a+1=x在[0，3]上有2个不同根．
移项得x²-（a+3）x+a+1=0
∴

△=(a+3)2-4(a+1)=a2+2a+5＞0 0＜ a+3 2 ＜3 a+1≥0 9-3(a+3)+a+1=-2a+1≥0

解得：-1≤a≤

1

2

（2）易知B=[-

1

8

-

a2

4

，

11

8

a-

1

4

a2-

3

2

]
①当

a+2

2

≥a，即1＜a≤2时，f（x）在[1，a]上单调递减 A=[f（a），f（1）]=[-a+1，0]⊆B
∴

- 1 8 - a2 4 ≤-a+1 11 8 a- a2 4 - 3 2 ≥0

解得：

3

2

≤a≤2．

②当a＞2时，f（x）在[1，

a+2

2

]上递减，在[

a+2

2

，a]上递增．f（a）=-a+1＜0=f（1）．
∴A=[f(

a+2

2

)，f(1)]=[-

a2

4

，0]⊆B
∴

- 1 8 - a2 4 ≤- a2 4 11 8 a- a2 4 - 3 2 ≥0

解得2＜a≤4
综上，a 的取值范围为[

3

2

，4]

点评：本题主要考查的知识点是二次函数的性质，方程的解法，方程根的情况以及函数恒成立问题．其中根据已知中的新定义，构造满足条件的方程是解答本题的关键．