Question

设命题p：t²-3t+2＜0；命题q：?x∈R，不等式3x²+2tx+t+≤0成立．
（1）若“p∨q”为假命题，求t的取值范围；
（2）若“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求t的取值范围．

Answer 1

解：（1）命题p：t²-3t+2＜0为真，所以1＜t＜2．
又命题q：?x∈R，不等式3x²+2tx+t+≤0成立，即方程3x²+2tx+t+=0有解，所以△=4t²-12（t+）＞0，
解得：t＞4或t＜-1．
若“p∨q”为假命题，则p假q假，
∴，
∴t的取值范围-1≤t≤1或2≤t≤4；
（2）若“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，则p和q一真一假，
①p真q假时，得1＜t＜2；
②p假q真时，得t＞4或t＜-1，
综上，t的取值范围t＜-1或1＜t＜2或t＞4．
分析：（1）分别求出p为真命题，q为真命题时，t的取值范围，再根据若“p∨q”为假命题，则p假q假，从而可得t的取值范围．
（2）根据题意得命题p、q有且仅有一个为真命题，分别讨论“p真q假”与“p假q真”即可得出实数t的取值范围．
点评：本题重点考查命题真假的运用，考查不等式的解法，解题的关键是求出p为真命题，q为假命题时t的取值范围，属于基础题．