Question

已知圆C：x²+（y-1）²=16，过定点P（3，0）的直线l与圆交于A、B两点；
（1）当|AB|取最大值时，求直线l的方程；
（2）若|AB|=4

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由圆的性质可知圆的最长的弦为圆的直径，从而可知直线AB过C（0，1），P（3，0），利用直线方程的截距式可求
（2）分（i）当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=3，此时AB=2

7

不符合题意
（ii）当直线AB的斜率存在时，可设直线AB的方程为y=k（x-3）即kx-y-3k=0，由AB=4

3

及

1

2

×

AB

2

2+d2=r2可得d然后由点到直线的距离公司可求圆心C（0，1）到直线AB的距离d，建立关于k的方程，求解即可

解答：解：（1）由圆的性质可知圆的最长的弦为圆的直径
|AB|的最大值即为圆的直径，此时AB的过C（0，1），P（3，0），直线AB的方程为

x

3

+y=1
（2））（i）当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=3，此时AB=2

7

不符合题意
（ii）当直线AB的斜率存在时，可设直线AB的方程为y=k（x-3）即kx-y-3k=0
∵AB=4

3

又∵

1

2

×

AB

2

2+d2=r2
∴d²=16-12=4
∵圆心C（0，1）到直线AB的距离d=

|3k+1|

1+k2

=2
∴5k²+6k-3=0
∴k=

-3±2 6

5

直线AB的方程为y=

-3±2 6

5

(x-3)

点评：本题主要考查了圆的性质：圆的最长弦为直接的应用，直线与圆相交关系中弦长的求解，要注意灵活应用圆的性质．