Question

选做题（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分）
（1）已知圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，则该圆的圆心到直线ρsinθ+2ρcosθ=1的距离是______．
（2）若关于x的不等式|a-1|+2≥|x+1|+|x-3|存在实数解，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，∴x²+y²=2x．即（x-1）²+y²=1，∴圆心为（1，0）．
∵ρsinθ+2ρcosθ=1，∴2x+y-1=0．
由点到直线的距离公式得：

|2×1+0-1|

22+12

=

5

5

．即为所求的圆的圆心到直线的距离．
故答案为

5

5

．
（2）∵|x+1|+|x-3|≥|x+1-（x-3）|=4，∴|x+1|+|x-3|的最小值为4．
由已知关于x的不等式|a-1|+2≥|x+1|+|x-3|存在实数解，∴a满足|a-1|+2≥4，解得a≤-1，或a≥3．
∴实数a的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．