Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC₁上是否存在一点E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

Answer 1

分析：（1）由题意可知：平面AA₁C₁C⊥平面ABC，根据平面与平面垂直的性质定理可以得到，只要证明A₁O⊥AC就行了．
（2）此小题由于直线A₁C与平面A₁AB所成角不易作出，再由第（1）问的结论可以联想到借助于空间直角坐标系，设定参数，转化成法向量n与

A1C

所成的角去解决
（3）有了第（2）问的空间直角坐标系的建立，此题解决就方便多了，欲证OE∥平面A₁AB，可以转化成证明OE与法向量n垂直

解答：解：（Ⅰ）证明：因为A₁A=A₁C，且O为AC的中点，
所以A₁O⊥AC．（1分）
又由题意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
交线为AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，
所以A₁O⊥平面ABC．（4分）
（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，A₁A=A₁C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=

1

2

AC=1，
所以得：O(0，0，0)，A(0，-1，0)，A1(0，0，

3

)，C(0，1，0)，C1(0，2，

3

)，B(1，0，0)
则有：

A1C

=(0，1，-

3

)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AB

=(1，1，0)．（6分）

设平面AA₁B的一个法向量为n=（x，y，z），则有

n• AA1 =0 n• AB =0

?

y+ 3 z=0 x+y=0

，
令y=1，得x=-1，z=-

3

3

所以n=(-1，1，-

3

3

)．（7分）
cos＜n，

A1C

＞=

n• A1C

|n|| A1C |

=

21

7

．（9分）
因为直线A₁C与平面A₁AB所成角θ和向量n与

A1C

所成锐角互余，所以sinθ=

21

7

．（10分）
（Ⅲ）设E=(x0，y0，z0)，

BE

=λ

BC1

，（11分）
即(x0-1，y0，z0)=λ(-1，2，

3

)，得

x0=1-λ y0=2λ z0= 3 λ

所以E=(1-λ，2λ，

3

λ)，得

OE

=(1-λ，2λ，

3

λ)，（12分）
令OE∥平面A₁AB，得

OE

•n=0，（13分）
即-1+λ+2λ-λ=0，得λ=

1

2

，
即存在这样的点E，E为BC₁的中点．（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力