Question

已知f（x）=e^x，g（x）为其反函数．
（Ⅰ）说明函数f（x）与g（x）图象的关系（只写出结论即可）；
（Ⅱ）证明f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方；
（Ⅲ）设直线l与f（x）、g（x）均相切，切点分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，g（x₂）），且x₁＞x₂＞0，求证：x₁＞1．

Answer 1

分析：（I）根据函数与其反函数的图象关于y=x直线对称．
（II）设h（x）=x，利用导数求得f（x）-h（x）=e^x-x的最小值大于0，从而得e^x＞x，利用导数求得h（x）-g（x）=x-lnx的最小值大于0，从而得x＞lnx，这样可证明f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方．
（III）根据导数的几何意义得直线的斜率为ex1=

1

x2

=

lnx2-ex1

x2-x1

，利用ex1＞0得0＜x₂＜1⇒lnx₂＜0⇒x₁＞x₂+1，可证x₁＞1．

解答：解：（Ⅰ）f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称．
（Ⅱ）g（x）=lnx，设h（x）=x
令y=f（x）-h（x）=e^x-x，y'=e^x-1
令y'=0，即e^x=1，解得x=0
当x＜0时y'＜0，当x＞0时y'＞0
∴当x=0时，ymin=e0-0=1＞0
∴e^x＞x
令y=h（x）-g（x）=x-lnx，y′=1-

1

x

=

x-1

x

(x＞0)
令y'=0，解得x=1
当0＜x＜1时y'＜0，当x＞1时y'＞0
∴当x=1时，y_min=1-ln1=1＞0
∴x＞lnx，（x＞0）
∴f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方．
（Ⅲ）f'（x）=e^x，g′(x)=

1

x

，切点的坐标分别为(x1，ex1)，(x2，lnx2)，可得方程组：

ex1= 1 x2 lnx2-ex1 x2-x1 =ex1

∵x₁＞x₂＞0，∴ex1＞1，∴

1

x2

＞1，∴0＜x₂＜1，
∴lnx₂＜0，又lnx₂-ex1=ex1（x₂-x₁），∴lnx₂=ex1（x₂-x₁+1）＜0，
∴x₂-x₁+1＜0，
∴x₁＞x₂+1＞1，

点评：本题考查了导数几何意义及应用，考查了函数的恒成立问题的证明，考查了学生的逻辑推理论证能力．综合性强．