Question

已知圆C：（x-2）²+（y-1）²=1．
（1）求过点A（3，4）的圆C的切线方程；
（2）求两截距相等的圆C的切线方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由题意可得：圆的圆心与半径，再结合题意，分类讨论，设直线，进而由点到直线的距离等于半径即可得到k，求出切线方程；
（2）分类讨论，设出直线方程而由点到直线的距离等于半径即可得到k，求出切线方程．

解答： 解：（1）由圆的标准方程可得圆的圆心与半径分别为：（2，1）；1，
当切线的斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为：kx-y-3k+4=0，
由点到直线的距离公式可得：

|2k-1-3k+4|

k2+1

=1
解得：k=

4

3

，
所以切线方程为：4x-3y=0；
当切线的斜率不存在时，直线为：x=3，
满足圆心（2，1）到直线x=3的距离为圆的半径1，
x=3也是切线方程；
故过点A（3，4）的圆C的切线方程4x-3y=0或x=3；
（2）由（1）知4x-3y=0满足题意，
直线不过原点时，设方程为x+y+b=0，
则由点到直线的距离公式可得：

|2+1+b|

2

=1，
∴b=-3±

2

，
∴方程为x+y-3±

2

=0，
综上，两截距相等的圆C的切线方程为4x-3y=0或x+y-3±

2

=0．

点评：本题主要考查由圆的标准方程求圆的圆心与半径，以及点到直线的距离公式，容易疏忽斜率不存在的情况．