题目内容

我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：
①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q），使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．
（1）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，2），判断g（x）=f（x）+2（x∈R）是否是和谐函数？
（2）判断函数h(x)=
1-x2(x≥1)
2-2x(x＜1)
是否是和谐函数？
（3）若函数φ(x)=
x2-1
+t(1≤x≤
6
2
)是和谐函数，求实数t的取值范围．
分析：（1）利用幂函数f（x）的图象经过点（2，2），求出函数的表达式，然后判断g（x）=f（x）+2（x∈R）是否是和谐函数．
（2）直接利用新定义，判断函数h(x)=
1-x2(x≥1)
2-2x(x＜1)
是否满足和谐函数的定义，即可推出结果；
（3）利用新定义，函数φ(x)=
x2-1
+t(1≤x≤
6
2
)是和谐函数，推出关系式即可求实数t的取值范围．
解答：解：（1）设f（x）=xα（α∈R），由f（2）=2α=2，得α=1，f（x）=x，g（x）=x+2在R上是增函数，
令
g(p)=p+2=p2
g(q)=q+2=q2
(p＜q)，得p=-1，q=2
故g（x）=f（x）+2是和谐函数．                  …（4分）
（2）易得h（x）为R上的减函数，
①若p＜q＜1则
h(p)=2-2p=q2
h(q)=2-2q=p2
，相减得p+q=2与p＜q＜1矛盾；
②若1≤p＜q则
h(p)=1-p2=q2
h(q)=1-q2=p2
，p2+q2=1与1≤p＜q矛盾；
③若p＜1≤q则
h(p)=2-2p=q2
h(q)=1-q2=p2
，p=1与p＜1矛盾．
故h（x）不是和谐函数．                …（8分）
（3）φ(x)=
x2-1
+t在[1，
6
2
]上是增函数，
由函数φ(x)=
x2-1
+t(1≤x≤
6
2
)是和谐函数知，
函数φ（x）在[1，
6
2
]内存在区间[p，q]（p＜q），使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．
∴
φ(p)=
p2-1
+t=p2
φ(q)=
q2-1
+t=q2

∴p2，q2(1≤p2＜q2≤
3
2
)是方程
m-1
+t=m在区间[1，
3
2
]内的两个不等实根
?x2-x+1-t=0在区间[0，
2
2
]内的两个不等实根，
(令
m-1
=x)?
△=1-4(1-t)＞0
0＜
1
2
＜
2
2
1-t≥0
1
2
-
2
2
+1-t≥0
?t∈(
3
4
，
3-
2
2
]…（12分）
点评：本题考查新定义的理解以及应用，考查函数与方程的关系，函数的单调性与函数的定义域与函数的值域的综合应用．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=log
1
3
x，
（1）当x∈[
1
3
，3]时，求f（x）的反函数g（x）；
（2）求关于x的函数y=[g（x）]2-2ag（x）+3（a≤3）当x∈[-1.1]时的最小值h（a）；
（3）我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：
①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q）使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．
（Ⅰ）判断（2）中h（x）是否为“和谐函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若关于x的函数y=
x2-1
+t（x≥1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围．

(12分)已知函数，

(1)当时，求的反函数；

(2)求关于的函数 当时的最小值；

(3)我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；②在函数的定义域内存在区间使得函数在区间上的值域为.

(Ⅰ)判断(2)中是否为“和谐函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由；

(Ⅱ)若关于的函数是“和谐函数”，求实数的取值范围.

 
我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：
①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q），使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．
（1）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，2），判断g（x）=f（x）+2（x∈R）是否是和谐函数？
（2）判断函数是否是和谐函数？
（3）若函数是和谐函数，求实数t的取值范围．
已知函数，
（1）当时，求f（x）的反函数g（x）；
（2）求关于x的函数y=[g（x）]2-2ag（x）+3（a≤3）当x∈[-1.1]时的最小值h（a）；
（3）我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：
①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q）使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．
（Ⅰ）判断（2）中h（x）是否为“和谐函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若关于x的函数y=+t（x≥1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围．

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