题目内容

设cos2x＜1-4sinx+
5a-4
恒成立，求a的取值范围．
分析：把已知的不等式变形，利用三角函数的倍角公式进行整理，得到-2(sinx-1)2+2＜
5a-4
恒成立，求出不等式左侧的范围后即可列式求得答案．
解答：解：由cos2x＜1-4sinx+
5a-4
，
得cos2x+4sinx＜1+
5a-4
，
即1-2sin2x+4sinx-1＜
5a-4
，
-2(sinx-1)2+2＜
5a-4
．
所以cos2x＜1-4sinx+
5a-4
恒成立等价于：
-2(sinx-1)2+2＜
5a-4
恒成立．
因为-2（sinx-1）2+2≤2，
所以
5a-4
＞2．
解得a＞
8
5
．
点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法和分离变量法，训练了配方法，是中档题
练习册系列答案
相关题目
（2013•湛江二模）已知函数f(x)=2
3
sinxcosx+cos2x
（1）求f(
π
6
)的值；
（2）设x∈[0，
π
4
]，求函数f（x）的值域．
已知函数f（x）=4sinx•sin2（
π
4
+
x
2
）+cos2x
（1）设ω＞0为常数，若y=f（ωx）在区间[-
π
2
，
2π
3
]上是增函数，求ω的取值范围．
（2）求{m||f（x）-m|＜2成立的条件是
π
6
≤x≤
2π
3
，m∈R}．
（2008•扬州二模）已知二次函数f（x）=x2-2x+6，设向量a=（sinx，2），b=（2sinx，
1
2
），c=（cos2x，1），d=（1，2）．当x∈[0，π]时，不等式f（a•b）＞f（c•d）的解集为
（
π
4
，
3π
4
）
（
π
4
，
3π
4
）
．
设cos2x＜1-4sinx+
5a-4
恒成立，求a的取值范围．

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