Question

已知函数f（x）=4sinx•sin²（

π

4

+

x

2

）+cos2x
（1）设ω＞0为常数，若y=f（ωx）在区间[-

π

2

，

2π

3

]上是增函数，求ω的取值范围．
（2）求{m||f（x）-m|＜2成立的条件是

π

6

≤x≤

2π

3

，m∈R}．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化简函数的表达式，通过平方关系求出函数表达式的最简形式，根据函数的单调性的子集关系求出ω的取值范围．
（2）利用

π

6

≤x≤

2π

3

，|f（x）-m|＜2，推出2sinx-1＜m＜2sinx+3恒成立，求出m的范围即可．

解答：解：（1）函数f（x）=4sinx•sin²（

π

4

+

x

2

）+cos2x
=2sinx[1-cos（

π

2

+x）]+cos2x
=2sinx+2sin²x+cos²x-sin²x=1+2sinx…（4分）
由题意需[-

π

2

，

2π

3

]⊆[-

π

2ω

，

π

2ω

]得ω∈(0，

3

4

]…（6分）
（2）由题意当

π

6

≤x≤

2π

3

时，|f（x）-m|＜2，即2sinx-1＜m＜2sinx+3恒成立
解得1＜m＜4…（9分）
∴{m||f（x）-m|＜2成立的条件是

π

6

≤x≤

2π

3

，m∈R}={m|1＜m＜4}…（10分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，绝对值不等式的解法，考查计算能力．