Question

已知函数f（x）=x•e^x，g（x）=-x²-2x+m．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）与g（x）的图象恰有两个交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用导数的运算法则，算出f'（x）=e^x（1+x），从而得到当x＜-1时，f'（x）＜0；当x＞-1时，f'（x）＞0．由此结合导数的正负与函数单调性的关系，即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）由（1）得[f（x）]_min=-．根据二次函数的图象与性质，算出[g（x）]_max=m+1，结合题意得不等式m+1＞-，解之可得实数m的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=x•e^x，
∴f'（x）=e^x+x•e^x=e^x（1+x）
令f'（x）=0，得x=-1
∵当x＜-1时，f'（x）＜0；当x＞-1时，f'（x）＞0
∴f（x）在（-∞，-1）上为减函数，在（-1，+∞）上为增函数．
（2）由（1）得[f（x）]_min=f（-1）=-
∵二次函数g（x）=-x²-2x+m的图象抛物线
关于x=-1对称且开口向下
∴函数g（x）在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，+∞）上为减函数
由此可得[g（x）]_max=g（-1）=m+1
∵当f（x）的最小值小于g（x）的最大值时，f（x）与g（x）的图象恰有两个交点，
∴m+1＞-，得m＞-1-，
由此可得实数m的取值范围是（-1-，+∞）．
点评：本题给出两个基本初等函数，研究它们的单调性并且讨论函数图象的交点个数．着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数极值与最值和不等式恒成立等知识，属于中档题．