Question

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n与a_n之间满足a_n=

2 S 2 n

2Sn-1

（n≥2）．
（1）求证：数列{

1

Sn

}的通项公式；
（2）设存在正数k，使（1+S₁）（1+S₂）..（1+S_n）≥k

2n+1

对一切n∈N^×都成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）由数列的性质a_n=S_n-S_n-1及a_n=

2 S 2 n

2Sn-1

（n≥2）得到关系S_n-S_n-1=

2S 2 n

2Sn-1

，对其进行变形整理出可以判断数列为等差数列的形式即可．
（2）欲证明不等式一切n∈N^×都成立须证明

(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)

2n+1

的单调性，求出其最值由（1）知，此式中的各个因子符号为正，故研究其单调性可以借助作商法来研究，故先构造函数，F（n）=

(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)

2n+1

，然后再令[F（n）]_min≥k即可．

解答：解：（1）证明：∵n≥2时，a_n=S_n-S_n-1（1分）
∴S_n-S_n-1=

2S 2 n

2Sn-1

，∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2S_n²，
∴=S_n-1-S_n=2S_nS_n-1（3分）
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2（n≥2），（5分）
数列{

1

Sn

}是以

1

S1

=1为首项，以2为公差的等差数列．（6分）
（2）由（1）知

1

Sn

=1+(n-1)×2=2n-1，
∴Sn=

1

2n-1

，∴Sn+1=

1

2n+1

（7分）
设F（n）=

(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)

2n+1

，
则

F(n+1)

F(n)

=

(1+Sn+1) 2n+1

2n+3

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

4n2+8n+4 4n2+8n+3

＞1（10分）
∴F（n）在n∈N^*上递增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]_min≥k
∵[F（n）]_min=F（1）=

2

3

3

，∴0＜k≤

2

3

3

，k_max=

2

3

3

．（12分）

点评：本小题考查等差数列通项与前n项和关系以及数列与不等式相结合的有关问题．本题技巧性强，（1）中的变形证明及（2）中的转化为函数来判断单调性都需要较高的知识组合能力及较高的观察能力．