Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为2

2

，AA₁=2，点M是BC的中点，P是平面A₁BCD₁内的一个动点，且满足PM≤2，P到A₁D₁和AD的距离相等，则点P的轨迹的长度为（　　）

• A．π
• B．

  2

  3

  π
• C．2

  2

• D．2

Answer 1

分析：由题意画出几何体的图形，判断满足椭圆的点P的位置是图中线段EF，求出EF的长度即可．

解答：解：∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为2

2

，AA₁=2，
点M是BC的中点，P是平面A₁BCD₁内的一个动点，
且满足PM≤2，P到A₁D₁和AD的距离相等，
如图，P在平面A₁D₁CB中GN（G是A₁B的中点，N是D₁C的中点）的线段EF，
满足GE=FN=

2

-1，Q为GN的中点，QM=

1

2

BA1=

1

2

×

22+(2 2 )2

=

3

，ME=2，
所以EQ=

22-( 3 )2

=1，同理QF=1，
所以EF=2，
∴点P的轨迹的长度为2．
故选D．

点评：本题考查点线面间距离的计算，解题时要认真审题，仔细解答，注意化空间问题为平面问题．考查空间想象能力．