Question

已知平面上一定点C（-1，0）和一直线l：x=-4，P（x，y）为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）点O是坐标原点，过点C的直线与点P的轨迹交于A，B两点，求的取值范围．

Answer 1

解：（1）设P（x，y），则由已知得Q（-4，y），又C（-1，0），
∴=（-4-x，0），=（-1-x，-y），
∵．
∴（-6-3x，-2y）•（-2+x，2y）=0，
故．
（2）设过点C的直线斜率存在时的方程为y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则由?（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
∴，
，
令
=
∵k²≥0，
∴
∴
当过点C的直线斜率不存在时，其方程为x=-1，解得
此时，
所以的范围是
分析：（1）设P（x，y），由题意可得Q（-4，y），又C（-1，0），结合即可求得点P的轨迹方程；
（2）设过点C的直线斜率存在时的方程为y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由可得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，利用韦达定理，可化为：，从而可求其取值范围；当过点C的直线斜率不存在时可解得A、B两点的坐标从而可补充前者所求的的取值范围．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查向量在几何中的应用，突出方程思想，转化思想的考查与运用，属于难题．