Question

已知两点M（-3，0），N（3，0），若直线上存在点P，使|PM|+|PN|=10，则称该直线为“A型直线”，给出直线：①x=

25

3

；②y=2x+3；③y=x+10；④y=-5x+1，其中是“A型直线”的是

 

．（填序号）

Answer 1

分析：已知点M（-3，0），N（3，0），若存在点P，使|PM|+|PN|=10，则点P的轨迹是椭圆，只需要判断所给出直线与椭圆有没有交点即可．

解答：解：已知点M（-3，0），N（3，0），且存在点P，使|PM|+|PN|=10，则点P的轨迹是椭圆，其方程为：

x2

25

+

y2

16

=1；
①x=

25

3

是椭圆的右准线，与椭圆无交点；
②与椭圆方程组成方程组，

y=2x+3 x2 25 + y2 16 =1

消去y，得116x²+300x+175=0，△=90000-4×116×175＞0，方程组有解，
∴直线与椭圆有交点，满足条件；
③与椭圆方程组成方程组，

y=x+10 x2 25 + y2 16 =1

消去y，得41x²+500x+2100=0，△=2500-4×41×2100＜0，方程组无解，
∴直线与椭圆无交点，不满足条件；
④与椭圆方程组成方程组，

y=-5x+1 x2 25 + y2 16 =1

消去y，得641x²-250x-375=0，△=62500-4×641×（-375）＞0，方程组有解，
∴直线与椭圆有交点，满足条件；
故答案为：②④．

点评：本题通过构造椭圆，转化为判断直线与椭圆的交点问题，就容易解决了．